Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Paso 1

Obtén los valores propios.

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Paso 1.1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 1.2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 1.3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 1.3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 1.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 1.4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 1.4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 1.4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 + 0 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3

Simplify each element.

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Paso 1.4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.2

Suma $6$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.3

Suma $- 8$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 + 0 & 1 - λ & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.4

Suma $3$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.5

Suma $7$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.6

Suma $- 4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.7

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 + 0 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.8

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.9

Suma $4$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - λ & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.10

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - λ & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.11

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.4.3.12

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Paso 1.5

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $4$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.1.3

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 6 & - 8 \\ 1 - λ & 7 & - 4 \\ - 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.4

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 6 & - 8 \\ 1 - λ & 7 & - 4 \\ - 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.5

The minor for $a_{42}$ is the determinant with row $4$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 6 & - 8 \\ 3 & 7 & - 4 \\ 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.6

Multiply element $a_{42}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 6 & - 8 \\ 3 & 7 & - 4 \\ 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.7

The minor for $a_{43}$ is the determinant with row $4$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.8

Multiply element $a_{43}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} |$

Paso 1.5.1.9

The minor for $a_{44}$ is the determinant with row $4$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.10

Multiply element $a_{44}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 6 & - 8 \\ 1 - λ & 7 & - 4 \\ - 1 & 1 - λ & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 6 & - 8 \\ 3 & 7 & - 4 \\ 1 & 1 - λ & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & 6 & - 8 \\ 1 - λ & 7 & - 4 \\ - 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 6 & - 8 \\ 3 & 7 & - 4 \\ 1 & 1 - λ & 4 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 - λ & 6 & - 8 \\ 3 & 7 & - 4 \\ 1 & 1 - λ & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} | + (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & - 8 \\ 3 & 1 - λ & - 4 \\ 1 & - 1 & 4 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 - λ & 2 & 6 \\ 3 & 1 - λ & 7 \\ 1 & - 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 7 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 7 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 7 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 - λ & 7 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.2.1.1

Expande $(1 - λ) (1 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.2.2

Resta $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 7)) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 7)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - - 7) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} + 7) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.2

Suma $1$ y $7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 8) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.2.2.3

Reordena $- 2 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} | + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Paso 1.5.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (3 (1 - λ) - 1 \cdot 7) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (3 \cdot 1 + 3 (- λ) - 1 \cdot 7) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (3 + 3 (- λ) - 1 \cdot 7) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (3 - 3 λ - 1 \cdot 7) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (3 - 3 λ - 7) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.3.2.2

Resta $7$ de $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 | \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |)$

Paso 1.5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 1 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (3 \cdot - 1 - (1 - λ)))$

Paso 1.5.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 3 - (1 - λ)))$

Paso 1.5.5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 3 - 1 \cdot 1 - - λ))$

Paso 1.5.5.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 3 - 1 - - λ))$

Paso 1.5.5.4.2.1.4

Multiplica $- - λ$ .

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Paso 1.5.5.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 3 - 1 + 1 λ))$

Paso 1.5.5.4.2.1.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 3 - 1 + λ))$

Paso 1.5.5.4.2.2

Resta $1$ de $- 3$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (- 4 + λ))$

Paso 1.5.5.4.2.3

Reordena $- 4$ y $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8) - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.5.5.1.1

Expande $(2 - λ) (λ^{2} - 2 λ + 8)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 2 λ) + 2 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.5.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 2 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.3

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.5.1.2.3.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.3.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.5.1.2.3.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.5.1.2.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot 8 - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.2.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (2 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} + 2 λ^{2} - 8 λ - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.3

Suma $2 λ^{2}$ y $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 4 λ + 16 - λ^{3} - 8 λ - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.4

Resta $8 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 2 (- 3 λ - 4) + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 2 (- 3 λ) - 2 \cdot - 4 + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ - 2 \cdot - 4 + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.7

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ + 8 + 6 (λ - 4))$

Paso 1.5.5.5.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ + 8 + 6 λ + 6 \cdot - 4)$

Paso 1.5.5.5.1.9

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ + 8 + 6 λ - 24)$

Paso 1.5.5.5.2

Suma $- 12 λ$ y $6 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} + 8 + 6 λ - 24)$

Paso 1.5.5.5.3

Combina los términos opuestos en $4 λ^{2} - 6 λ + 16 - λ^{3} + 8 + 6 λ - 24$ .

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Paso 1.5.5.5.3.1

Suma $- 6 λ$ y $6 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} + 16 - λ^{3} + 8 + 0 - 24)$

Paso 1.5.5.5.3.2

Suma $4 λ^{2} + 16 - λ^{3} + 8$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} + 16 - λ^{3} + 8 - 24)$

Paso 1.5.5.5.4

Suma $16$ y $8$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} + 24 - 24)$

Paso 1.5.5.5.5

Combina los términos opuestos en $4 λ^{2} - λ^{3} + 24 - 24$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.5.5.1

Resta $24$ de $24$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3} + 0)$

Paso 1.5.5.5.5.2

Suma $4 λ^{2} - λ^{3}$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (4 λ^{2} - λ^{3})$

Paso 1.5.5.5.6

Reordena $4 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 + 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6

Simplifica el determinante.

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Paso 1.5.6.1

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.6.1.1

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = 0 + (4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.1.3

Suma $0$ y $(4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.2

Expande $(4 - λ) (- λ^{3} + 4 λ^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3} + 4 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (4 λ^{2}) - λ (- λ^{3} + 4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (4 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.5.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.6.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (4 λ^{2}) - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - λ (- λ^{3}) - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.4

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.3.1.4.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.4.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.6.3.1.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + 1 λ^{4} - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.6

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - λ (4 λ^{2})$

Paso 1.5.6.3.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ^{2}$

Paso 1.5.6.3.1.8

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.5.6.3.1.8.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ)$

Paso 1.5.6.3.1.8.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 1.5.6.3.1.8.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 4 (λ^{2} λ^{1})$

Paso 1.5.6.3.1.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{2 + 1}$

Paso 1.5.6.3.1.8.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 1 \cdot 4 λ^{3}$

Paso 1.5.6.3.1.9

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ^{3}$

Paso 1.5.6.3.2

Resta $4 λ^{3}$ de $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + 16 λ^{2} + λ^{4}$

Paso 1.5.6.4

Mueve $16 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ^{3} + λ^{4} + 16 λ^{2}$

Paso 1.5.6.5

Reordena $- 8 λ^{3}$ y $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 8 λ^{3} + 16 λ^{2}$

Paso 1.6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 8 λ^{3} + 16 λ^{2} = 0$

Paso 1.7

Resuelve $λ$

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Paso 1.7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{4} - 8 λ^{3} + 16 λ^{2}$ .

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Paso 1.7.1.1.1

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} - 8 λ^{3} + 16 λ^{2} = 0$

Paso 1.7.1.1.2

Factoriza $λ^{2}$ de $- 8 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 8 λ) + 16 λ^{2} = 0$

Paso 1.7.1.1.3

Factoriza $λ^{2}$ de $16 λ^{2}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 8 λ) + λ^{2} \cdot 16 = 0$

Paso 1.7.1.1.4

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 8 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 8 λ) + λ^{2} \cdot 16 = 0$

Paso 1.7.1.1.5

Factoriza $λ^{2}$ de $λ^{2} (λ^{2} - 8 λ) + λ^{2} \cdot 16$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 8 λ + 16) = 0$

Paso 1.7.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.7.1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 8 λ + 4^{2}) = 0$

Paso 1.7.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$8 λ = 2 \cdot λ \cdot 4$

Paso 1.7.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$λ^{2} (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 1.7.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = λ$ y $b = 4$ .

$λ^{2} {(λ - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$λ^{2} = 0$

${(λ - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.7.3

Establece $λ^{2}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.3.1

Establece $λ^{2}$ igual a $0$ .

$λ^{2} = 0$

Paso 1.7.3.2

Resuelve $λ^{2} = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.7.3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.7.3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.7.3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$λ = \pm 0$

Paso 1.7.3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$λ = 0$

Paso 1.7.4

Establece ${(λ - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $λ$ .

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Paso 1.7.4.1

Establece ${(λ - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(λ - 4)}^{2} = 0$

Paso 1.7.4.2

Resuelve ${(λ - 4)}^{2} = 0$ en $λ$ .

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Paso 1.7.4.2.1

Establece $λ - 4$ igual a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Paso 1.7.4.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$λ = 4$

Paso 1.7.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $λ^{2} {(λ - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$λ = 0, 4$

Paso 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{4})$

Paso 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Paso 3.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $0$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.4

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.7

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.8

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.9

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.10

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.11

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.12

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.13

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.14

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.15

Multiplica $0$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 3.2.1.2.16

Multiplica $0$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Paso 3.2.2.1

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 + 0 & 2 + 0 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2

Simplify each element.

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Paso 3.2.2.2.1

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 + 0 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.3

Suma $6$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.4

Suma $- 8$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 + 0 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.5

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 + 0 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.6

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.7

Suma $7$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.8

Suma $- 4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.9

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 + 0 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.10

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.12

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.13

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.14

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.15

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 + 0 \end{array}]$

Paso 3.2.2.2.16

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Paso 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Paso 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 & 0 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{2}{2} & \frac{6}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{0}{2} \\ 3 & 1 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot 1 & 7 - 3 \cdot 3 & - 4 - 3 \cdot - 4 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 1 & 1 - 3 & 4 + 4 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 8 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 8 + 2 \cdot - 4 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.5.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.6

Swap $R_{4}$ with $R_{3}$ to put a nonzero entry at $3, 4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

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Paso 3.3.2.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{0}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.7.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.8

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.8.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.8.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & 3 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.9.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.10

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 3.3.2.10.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 3 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.2.10.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} + 2 x_{3} = 0$

$x_{2} + x_{3} = 0$

$x_{4} = 0$

$0 = 0$

Paso 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 x_{3} \\ - x_{3} \\ x_{3} \\ 0 \end{array}]$

Paso 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Paso 3.3.6

Write as a solution set.

${x_{3} [\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | x_{3} \in R}$

Paso 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Paso 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores conocidos en la fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.5

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.6

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.7

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.8

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.9

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.10

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.11

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.12

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.13

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.14

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.15

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Paso 4.2.1.2.16

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.2

Suma los elementos correspondientes.

$[\begin{array}{c} 2 - 4 & 2 + 0 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3

Simplify each element.

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Paso 4.2.3.1

Resta $4$ de $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 + 0 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.2

Suma $2$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 + 0 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.3

Suma $6$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.4

Suma $- 8$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 + 0 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.5

Suma $3$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & 1 - 4 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.6

Resta $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 + 0 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.7

Suma $7$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.8

Suma $- 4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 + 0 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.10

Suma $- 1$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & 1 - 4 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.11

Resta $4$ de $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.12

Suma $4$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.13

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.14

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.15

Suma $0$ y $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 - 4 \end{array}]$

Paso 4.2.3.16

Resta $4$ de $4$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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Paso 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & 6 & - 8 & 0 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 8 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 3 & - 3 & 7 & - 4 & 0 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot - 1 & 7 - 3 \cdot - 3 & - 4 - 3 \cdot 4 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 16 & - 16 & 0 \\ 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 16 & - 16 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 + 1 & - 3 + 3 & 4 - 4 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.3.2

Simplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 16 & - 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ \frac{0}{16} & \frac{0}{16} & \frac{16}{16} & \frac{- 16}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.4.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot - 1 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.2.5.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x_{1} - x_{2} + x_{4} = 0$

$x_{3} - x_{4} = 0$

$0 = 0$

Paso 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{2} - x_{4} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{4} \end{array}]$

Paso 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Paso 4.3.6

Write as a solution set.

${x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + x_{4} [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | x_{2}, x_{4} \in R}$

Paso 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Paso 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$